Un sismomètre ne possédant pas de système d'amortissement n'est en pratique pas utilisable pour bien rendre compte des différentes arrivées d'ondes sismiques. En effet, en théorie, si la masse du sismomètre sort de sa position d'équilibre, elle peut osciller indéfiniment. En pratique, elle est freinée par les frottements mécaniques à l'intérieur de l'appareil, mais elle peut continuer à osciller même si le champ excitateur a disparu et ces oscillations parasites peuvent masquer l'arrivée d'autres ondes. Un système d'amortissement efficace permet donc à la masse d'arrêter rapidement d'osciller dès la disparition du champ excitateur, afin de répondre le plus précisément possible à toutes les arrivées d'ondes.

Les solutions de l'équation de l'oscillateur libre amorti

    Pour construire un bon sismomètre, il est nécessaire de déterminer l'amortissement optimal à une bonne restitution du mouvement du sol. Etudions donc le comportement d'un oscillateur amorti en régime libre qui est régi par l'équation classique suivante:
  où est la constante d'amortissement du système et  est la pulsation propre de l'oscillateur.

L'équation caractéristique de l'équation précédente s'écrit:

Le discriminant réduit vaut 

    On est donc amené à distinguer trois cas selon le signe du discriminant réduit. Ces trois cas correspondent au sous-amortissement, au sur-amortissement et à l'amortissement critique.

1/ Sous-amortissement

Comme l'amortissement est faible, alors  et donc . Il y a donc deux racines complexes conjuguées r₁ et r₂:

  et   où 

La solution générale de l'équation du mouvement s'écrit donc:
 

C'est un mouvement sinusoïdal exponentiellement amorti. La pseudo-période de l'oscillateur a pour valeur:
 

où T₀ est la période propre de l'oscillateur.
 

La période est constante, ce qui n'apparaît pas bien sur le graphique en raison de l'échelle des abscisses

La mesure de la constante d'amortissement se fait grâce au calcul du décrément logarithmique :

    D'après le graphique, on constate que l'amortissement choisi n'est pas suffisant pour contraindre la masse à arrêter d'osciller rapidement. Les vibrations, même si elles sont progressivement atténuées, constituent des sources d'erreurs pour une bonne mesure des véritables mouvements du sol.

2/ Sur-amortissement

On se place dans un cas où l'amortissement est supérieur à 1:  donc .

L'équation caractéristique a donc deux racines réelles r₁ et r₂:
  et   où 

L'équation du mouvement a donc pour solution générale:
 

On constate que c'est un mouvement exponentiel apériodique.
 

Quand le système est sur-amorti, on remarque que toute oscillation a disparu: il n'est donc pas possible que le sismomètre enregistre correctement les mouvements du sol.

3/ Régime critique

Lorsque , on dit que l'on est en régime critique. Alors on a  et l'équation caractéristique a donc une racine double r:

La solution générale à l'équation du mouvement s'écrit:
 

C'est également un mouvement apériodique.
 

Le mouvement est apériodique critique et on remarque que la masse retourne rapidement vers sa position d'équilibre.

4/ Conclusion

    Un sismomètre sous-amorti n'est donc pas utilisable pour effectuer une bonne mesure des mouvements du sol: en effet, la masse oscille trop longuement et le signal de sortie se retrouve plus complexe que le signal d'origine. Dans le cas d'un appareil sur-amorti, c'est le contraire; le mouvement de la masse est complètement lissé par l'amortissement. Il est donc difficile d'obtenir un relevé précis des vibrations du sol. Le choix du sismologue est donc de se rapprocher juste en-dessous de l'amortissement critique pour que l'oscillation repasse par zéro. Comme la masse revient assez vite vers sa position d'équilibre, elle est prête pour réagir à l'arrivée du train d'onde suivant.
 

Les solutions de l'équation de l'oscillateur amorti en régime forcé

    On considère que le champ excitateur est de forme sinusoïdale: .

    En régime permanent, la forme de la réponse du sismomètre est identique, l'amplitude change et un déphasage apparaît: . L'équation du mouvement s'écrit:
 

M est l'amplification. On peut choisir M= 1 pour faciliter les calculs. Cela correspond à un système sans amplification.

    On travaille dans le domaine complexe pour faciliter l'étude.

A z on associe .

A x on associe .

L'équation du mouvement s'écrit alors, après simplification:
 

Calculons l'amplitude et la phase pour connaître la réponse du sismomètre.

D'après l'équation précédente, on a:

On cherche B qui est le module de .
 

La phase est définie par = Partie Imaginaire / Partie Réelle et vaut ici:
 
 

    D'après le graphique, on remarque que l'amplitude passe par un maximum pour certaines valeurs de l'amortissement. Calculons la dérivée de la fonction d'amplitude par rapport à la pulsation.
 

D'où quand , il vient:

Après simplification, l'équation se réduit à:
  Ceci n'est possible que si ; si l'amortissement dépasse cette valeur, alors il n'y a plus de maximum, comme on peut le voir sur le graphique.

L'amplitude maximale, sous réserve qu'elle existe, apparaît donc pour:
 

Elle vaut:
  Pour la valeur d'amortissement , on constate que la fonction d'amplitude n'a plus de pic de distorsion au niveau de la fréquence de résonnance, ce qui réduit considérablement le risque d'atteindre les limites de l'appareil. De plus la bande passante est plus large que pour une autre valeur d'amortissement. Les sismologues choisissent donc généralement de régler les sismomètres en dessous de l'amortissement critique pour lequel , en adoptant une valeur d'amortissement autour de 0.7.

    Il existe deux grands types d'amortissement: l'amortissement visqueux et l'amortissement électromagnétique.
    L'amortissement visqueux n'est presque plus utilisé aujourd'hui. Son principe est relativement simple: on considère deux plaques rigides très rapprochées, en mouvement l'une par rapport à l'autre (par exemple, l'une liée au bâti, l'autre à la masse); si entre ces plaques se trouve un fluide, le frottement des molécules va engendrer des forces de viscosité proportionnelles à la vitesse qui vont s'opposer au mouvement.
    Le principe de l'amortissement électromagnétique est le suivant: on induit une tension dans un conducteur placé dans un champ magnétique. Le courant induit engendre une force de Laplace qui s'oppose, d'après la loi de Lenz,  à la cause qui l'a créée, c'est-à-dire au mouvement du conducteur. Si on fixe un conducteur à la masse d'un sismomètre et qu'on fixe au bâti un système d'induction magnétique, on peut créer un amortissement électromagnétique.
 
 

(Vorlesungen über Seismometrie, B. Galitzin)

Un Wiechert horizontal Ce sismomètre utilise un système d'amortissement visqueux  visible en haut à gauche.  Il se présente sous la forme de cylindres remplis d'air.  Un disque lié à la masse peut bouger à l'intérieur du cylindre  mais est freiné par la résistance de l'air, ce qui crée l'amortissement.

Documents pédagogiques, E.O.S.T Strasbourg