Un sismomètre vertical est un sismomètre sensible aux mouvements verticaux du sol. Certains sont construits sur le principe du peson qui sera étudié par la suite et d'autres sur le principe du pendule.

    Essayons d'établir les équations reliant le mouvement du sol et le mouvement enregistré par un peson.

L'appareil

    On considère une masse m, suspendue à un ressort de masse négligeable, de constante de raideur k et de longueur à vide l₀. Le dispositif comporte également un système d'amortissement visqueux de constante .

Le déplacement du sol est noté z_sol et le mouvement relatif entre la masse et le support z.

Le ressort a un allongement l à l'équilibre.

Bilan des forces s'exerçant sur la masse:

- le poids P=mg

- la force d'amortissement 

- la tension du ressort )

    On se place dans un référentiel lié au sol. L'accélération de la masse est donc composée de deux termes: m, qui correspond à l'accélération de la masse par rapport au bâti et m, qui correspond à l'accélération du bâti par rapport au sol.

En appliquant le principe fondamental de la dynamique, on obtient l'équation suivante:
 

Or, à l'équilibre, on a z = z_sol =  =  = = 0. Il vient donc:

L'équation prend donc la forme suivante:
 

ou encore :
 

 On pose généralement:

;  ; 

Alors l'équation s'écrit finalement:
 

où  représente la pulsation propre,  est la constante d'amortissement du système et M l'amplification.

Cette équation est classiquement l'équation du mouvement d'un oscillateur amorti.

M=-1 est un résultat normal car il n'y a pas d'amplification dans notre système. Le signe - qui apparaît est un simple problème de convention
 

Solutions de l'équation en régime forcé

    Si on suppose maintenant que le bâti du sismomètre est soumis à un mouvement du sol oscillant de forme sinusoïdale: , on atteint alors un régime permanent forcé. La réponse du sismomètre est de la même forme que l'excitation: la pulsation  est identique, mais il apparaît un déphasage  et l'amplitude change également. La forme de la réponse est donc la suivante: .

    Dans l'étude qui suit, on cherche à calculer B et , afin de connaître au mieux la réponse du sismomètre.

    Il est plus aisé de travailler en complexes:

-à z_sol on associe la quantité complexe ;

-à z on associe la quantité complexe .

En remplaçant ces deux quantités dans l'équation du mouvement, on obtient:
 
 

D'où, en simplifiant par ,
 

On a donc:

On cherche B qui est le module de .
 
 

et la phase  est définie par  = Arctan (Partie Imaginaire/Partie Réelle):
 
 

    Il peut être intéressant de connaître les variations de l'amplitude B en fonction de la pulsation , afin de pouvoir, par la suite avoir accès à l'amplitude A du signal d'origine. Pour cela, étudions la dérivée de B par rapport à .
 
 

Quand , on obtient , soit 

C'est la pulsation propre de l'oscillateur. On la note généralement :
 

Remarque:
Dans la première partie, on avait déjà posé  pour arriver à la forme finale de l'équation de mouvement: ce n'était pas par hasard, puisque la pulsation propre est une quantité qui apparaît naturellement dans l'étude d'un oscillateur.

L'amplitude possède donc un maximum en . Ce maximum correspond à la fréquence de résonnance du système. L'amplitude maximale a ainsi pour valeur:
 
 

Intéressons-nous aux limites de la fonction d'amplitude:

Quand  tend vers 0, alors B tend également vers 0.

Quand  tend vers , alors B tend vers A, qui est l'amplitude du signal d'origine.

Remarques et commentaires

    Un sismomètre soumis à une excitation sinusoïdale a une réponse de la même forme, au déphasage près. L'amplitude de la réponse varie en fonction de la pulsation d'excitation. On peut cependant remarquer que pour des pulsations suffisamment élevées, elle tend à être identique à l'amplitude du signal excitateur.

    Dans les calculs apparaît une pulsation propre , qui correspond à la fréquence de résonnance du système. Lorsqu'on atteint cette pulsation, l'amplitude de la réponse est maximale, on doit donc veiller à ne pas atteindre les limites de l'appareil.

    Dans la pratique, le mouvement du sol n'est pas monofréquentiel: les ondes sismiques ont des amplitudes et des contenus spectraux très variés (de moins d'une seconde de période à quelques centaines de secondes). Pour analyser le spectre de la réponse, il est en pratique préférable de travailler avec la transformée de Fourier pour se placer dans le domaine fréquentiel. Connaissant la réponse impulsionnelle du système, c'est-à-dire la réponse à une impulsion brève, il est alors théoriquement possible de trouver la réponse du sismomètre à toute excitation.

    Le dispositif décrit est extrêmement simple d'un point de vue mécanique et de nombreux sismomètres ont été construits sur ce principe. Le Musée de Sismologie et de Magnétisme Terrestre à Strasbourg présente un sismomètre fondé sur le principe du peson: le " Wiechert vertical ", datant de 1909 et pesant 1,2 tonnes. Bien que d'un fonctionnement théoriquement simple, il pose en pratique de gros problèmes: très sensible aux variations de température, il a été caréné, puis équipé d'un système de pendule à grille, afin de compenser les écarts de température. Vous pouvez consulter photos et schémas de cet appareil sur le site du musée.
    Wiechert a construit par la suite d'autres sismomètres verticaux plus légers qui ont été largement répandus. Ce ne sont plus des pesons mais des pendules. Les sismomètres développés par la suite suivront d'ailleurs plutot ce principe.

  
 

(Vorlesungen über Seismometrie, B. Galitzin)

Un "petit" Wiechert vertical dont la masse n'est que de 80 kg. Ce sismomètre vertical  a été construit d'après  le principe du pendule.

Documents pédagogiques, E.O.S.T Strasbourg