Les deux sismomètres que nous allons étudier comportent un système très utilisé en sismologie: le ressort de longueur nulle.

Le ressort de longueur nulle

    Pour un ressort quelconque, la force de tension T est proportionnelle à l-l₀ selon la loi T=-k(l-l₀) où l est la longueur effective du ressort et l₀ sa longueur à vide. Par contre, lorsqu'on applique une force aux ressort dit " de longueur nulle ", elle est directement proportionnelle à la longueur effective l, en vertu de la loi T= -kl. Cette particularité simplifie considérablement les équations du sismomètre, d'où son intérêt.

    Le ressort de longueur nulle est fabriqué en appliquant une torsion au fil de manière à rendre les spires jointives (le ressort ne peut évidemment pas être contracté jusqu'à avoir une vraie longueur nulle). Il possède donc une tension résiduelle qu'il faut dépasser pour provoquer son allongement: il existe donc des forces non mesurables.

Un sismomètre vertical " longue période "

    On considère une masse m reliée à un support vertical par une tige rigide de longueur R et par un ressort de longueur nulle et de constante k. On note r la distance entre les points d'ancrage de la tige et du ressort et l la longueur du ressort.

    La tige rigide tourne autour d'un axe de rotation horizontal repéré par un petit cercle sur la figure ci-dessous. Le mouvement de la masse est mesuré par l'angle entre le support et la tige, noté . On aura également besoin de l'angle  entre la tige et le ressort.

- son poids P=mg

-la tension du ressort T= -kl

On projette ces forces sur la tangente à la trajectoire:

A l'équilibre, on a:
ou .

D'après la relation des sinus dans un triangle, nous avons également la relation suivante:
ou 

En remplaçant le rapport des sinus dans l'équation, il vient:
 

    Dans cette relation n'interviennent que des constantes. L'angle n'apparaît plus dans l'équation, donc la position d'équilibre ne dépend pas de . Chaque valeur correspond à une position d'équilibre: il s'agit d'un équilibre indifférent. Si on bouge la masse, elle passe d'une position d'équilibre à une autre, ce qui signifie que nous avons théoriquement construit un sismomètre de période infinie.

    Le ressort de longueur nulle permet donc, en plus d'une simplification dans les calculs (la longueur à vide du ressort disparaît), de construire des appareils ayant une période infinie. Par contre, si la longueur du ressort est petite mais non nulle, alors la période de l'appareil n'est plus infinie mais longue. En modifiant légèrement le système précédent, il est possible de construire des sismomètres verticaux de période non plus infinie, mais longue.

    On utilise donc un dispositif similaire mais ici, le système masse-ressort-tige est ancré sur une autre tige qui s'écarte de la verticale d'un angle .

Etablissons l'équation du mouvement de la masse.

Bilan des forces s'exerçant sur la masse:

- son poids P = mg

- la tension du fil T = -kl

    Ecrivons le principe fondamental de la dynamique en projection sur la tangente à la trajectoire:

ou encore:

Soient  et  les angles et l₀ la longueur du ressort dans la position d'équilibre de la masse. On a alors:

(1)

D'après la relation des sinus dans un triangle, on a également:

ou 
En remplaçant  dans la relation (1), il vient: ou  (2)
De plus, d'après la relation des sinus, on a à tout instant:
soit 

En remplaçant tout d'abord dans l'équation du mouvement  par , il vient:

Puis, en utilisant la relation (2), on remplace kr:

Finalement, l'équation s'écrit:

En sismologie on s'intéresse à de petits mouvements du sol, donc . Au premier ordre, on a donc  .

L'équation s'écrit: On introduit la pulsation propre  de l'appareil en posant:  alors la période propre de l'oscillateur s'exprime par

Il est ainsi possible de construire des appareils de très longue période, pourvu que l'on choisisse  suffisamment petit.

Remarques et commentaires

    Dans cet exemple, nous avons négligé toutes les forces de frottements pouvant agir sur la masse, notamment au niveau de l'axe de rotation. Par ailleurs, pour construire un sismomètre performant, il faudrait ajouter au dispositif un système d'amortissement, dont on n'a ici pas tenu compte dans les calculs. Le deuxième dispositif se ramène facilement au premier. Il suffit de poser  dans les équations et on retrouve les relations établies dans le premier exemple.

Les appareils construits sur ce principe ont généralement des périodes propres allant de 15 à 30 s, et la plus longue période propre obtenue avec ce système est de 80 s.
En comparaison, la période du peson, autre principe de sismomètre vertical, a pour valeur: . Il est donc moins aisé d'obtenir une longue période avec ce sismomètre, sauf en utilisant simultanément une masse importante et un ressort peu raide, deux conditions difficilement compatibles.
 
 

(photo: Laboratoire de Géophysique)

Le sismomètre vertical LPZA-12S Il est construit par le  Laboratoire de Géophysique. Le ressort utilisé pour sa fabrication est de longueur nulle.

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